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Le variabili finanziarie, come i rendimenti dei titoli del mercato azionario ed
obbligazionario, o i tassi di interesse nel mercato della liquidità, evidenziano
molto spesso una dinamica temporale eterogenea caratterizzata da code spesse,
asimmetria, pluralità di mode, volatilità variabile e persistente. Come verrà
evidenziato, mediante alcune analisi empiriche, queste caratteristiche sono presenti
in alcuni indici finanziari quando i loro rendimenti sono osservati con frequenza
mensile e diventano più evidenti quando la frequenza di rilevazione dei dati è più
elevata (per esempio settimanale, giornaliera o infra-giornaliera). Le assunzioni di
distribuzione gaussiana e di dinamica lineare si rivelano insoddisfacenti in molte
applicazioni finanziarie come il prezzaggio di titoli, la misurazione e la gestione del
rischio. Cos i modelli non lineari e non gaussiani sono stati introdotti in finanza per
produrre dei risultati migliori.
L'obiettivo principale di questa tesi è proporre alcuni modelli finanziari
alternativi a quelli lineari e gaussiani e di mostrare come i metodi di simulazione
Monte Carlo risultino particolarmente utili nella risoluzione dei problemi di
integrazione e di ottimizzazione, che posso sorgere quando vengono utilizzati modelli
probabilistici complessi. Inoltre in questa dissertazione verranno considerati alcuni
metodi di inferenza bayesiana, che consentono di stimare modelli stocastici con
struttura complessa, come le misture di distribuzioni, i modelli a volatilità stocastica,
o con trend stocastico locale.
Il primo modello considerato è un modello di portafoglio con un vincolo sulla
massima perdita ammissibile, detto vincolo di shortfall. L'ipotesi di gaussianità
dei rendimenti delle attività in portafoglio viene rimossa e vengono introdotte delle
distribuzioni t-Student con gradi di libertà differenti per ciascuna classe di titoli.
Inoltre si propone un approccio in simulazione Monte Carlo per approssimare e
risolvere il problema di ottimizzazione di portafoglio che risulta dalle precedenti
assunzioni. Il metodo Monte Carlo è utilizzato anche per valutare l'effettivo livello
di rischio del portafoglio in presenza di errori di stima dei parametri o di malspecificazione
del comportamento delle code della distribuzione dei rendimenti.
La seconda direzione di ricerca che è stata sviluppata, riguarda un modello
parametrico per i rendimenti di titoli finanziari ed i metodi di inferenza basati su
simulazioni. Nel lavoro di tesi si propone un modello di mistura di distribuzioni
a-stabili, che consente di catturare asimmetria, eccesso di curtosi e multimodalità
nella distribuzione di probabilità delle variabili finanziarie. Il modello di mistura
è difficile da stimare ed è quindi necessario adottare un metodo di stima basato
sulla simulazione. Per questo motivo si propone una approccio di tipo bayesiano per
l'inferenza statistica, sviluppando una riparametrizzazione dell'originario modello di
mistura e proponendo una procedura di stima basata sul campionamento di Gibbs.
L'efficienza del metodo di stima per misture di a-stabili è stata verificata su dati
sintetici ed inoltre vengono proposti i risultati dell'applicazione del modello ad alcuni
indici finanziari.
Infine in questa tesi si tratta l'utilizzo in finanza di modelli dinamici a variabili
latenti con particolare attenzione all'utilizzo di strumenti di inferenza bayesiana
basati sulla simulazione. Innanzitutto, viene data una definizione di modello
dinamico bayesiano e dei relativi problemi di inferenza sui parametri e sulle variabili
non osservabili. Inoltre si fornisce una revisione della letteratura sui modelli
a volatilità stocastica e si propongono dei nuovi modelli a volatilità stocastica
caratterizzati da un processo markoviano di salto sulla log-volatilità e da un processo
di innovazione con distribuzione a code spesse. Viene poi affrontato il problema di
inferenza statistica su tale classe di modelli. Si mostra come i metodi di inferenza
basati su simulazione, come il campionamento di Gibbs sequenziale e quello a blocchi
ed i metodi Monte Carlo di campionamento d'importanza sequenziale recentemente
sviluppati, come i filtri di particelle, si applicano a modelli dinamici con volatilità
stocastica. In particolare per il modello di volatilità con processo di salto e con
innovazioni a code spesse, viene proposto un filtro di particelle con variabile ausiliaria
per la stima congiunta dei parametri e delle variabili latenti (log-volatilità) del
modello. Infine l'efficienza della procedura di stima è stata verificata su dati .
sintetici.
Financial variables, i.e. asset returns in international stock and bond markets or
interest rates in the liquidity market, often exhibit a heterogeneous time evolution,
characterised by heavy tails, skewness, multimodality, time changing volatility and
volatility clustering. As we will show through some empirical studies, these features
appear for some financial indexes when returns are observed with monthly frequency
and become more evident when data are collected with a higher frequency (i.e.
weekly, daily or intra-day frequencies). Gaussian distribution and linear dynamic
assumptions reveal unsatisfactory in many financial applications like asset pricing,
risk measurement and management. Thus nonlinear and non-Gaussian models have
been introduced in finance in order to produce better results.
The main aim of this thesis is to propose some alternative financial models to
the linear and Gaussian ones and to show how Monte Carlo simulation methods
result particularly useful in solving optimisation and integration problems, which
arise in treating complex probabilistic models. Furthermore the dissertation deals
with Bayesian inference methods, which allow to make inference in highly structured
stochastic models, such as mixtures of distributions, stochastic volatility and local
stochastic trend models, by means of a simulation based approach. In particular in
this dissertation the following financial models have been treated.
First we consider a financial asset portfolio model with shortfall constraint. We
remove the Gaussian distribution assumption for the return of the financial asset,
introducing Student-t distributions with different degrees of freedom for each asset
class. Moreover we propose a Monte Carlo simulation approach to approximate and
solve the resulting optimisation problem. Monte Carlo simulation is used also to
evaluate the exact portfolio risk-level, in presence of parameter estimation errors or
misspecified tails behaviour.
Secondly, we propose a parametric model for financial asset returns and suggest
inference tools for the parameter estimation. The proposed model is a mixture of
a-stable distributions, which is able to capture skewness, excess of kurtosis and
multimodality in the probability distribution of financial variables. The mixture
model is difficult to estimate and a simulation based approach is needed. Thus
we propose a Bayesian approach by developing a reparameterisation of the mixture
model and an estimation method based on the Gibbs sampling. The efficiency
of inference tool for a-stable mixtures has been verified on synthetic data and an
application to financial indexes are also provided.
Finally we deal with latent factor dynamic models in finance and with simulation
based inference tools. In the thesis we define a Bayesian dynamic model and the
related inference problems of parameters estimation and hidden states filtering.
Furthermore we review the literature on stochastic volatility modelling and propose
a Markov switching stochastic volatility model with heavy tail innovations in the
observable process. Moreover we show how traditional simulation methods, like
single-move and multi-move Gibbs samplers and recently developed sequential
Monte Carlo simulation methods, such as particle filters, apply to stochastic
volatility dynamic models. We also develop auxiliary particle filter algorithms for the
joint estimation of parameter and hidden states of the proposed Markov switching
stochastic volatility model. Finally we study how these estimation procedures work
on synthetic dataset. |
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