Discrete time pricing: models with latent variables

Abstract

L'obbiettivo della presente Tesi é di considerare la specificazione di mod­elli di pricing in tempo discreto (in generale, incompleti) con variabili latenti, al fine di sfruttare i vantaggi derivanti da tale contesto a tempo discreto e al fine di fornire una descrizione completa degli aspetti storici e neutrali al rischio dei prezzi dei titoli. Negli ultimi anni osserviamo un importante sviluppo di modelli di pric­ing in tempo discreto, dove la modellizzazione secondo il principio dello Stochastic Discount Factor (SDF) e la caratterizzazione della distribuzione condizionale delle variabili di stato tramite la trasformata di Laplace sem­brano fornire risultati promettenti. Più precisamente, la caratterizzazione generale di modelli di pricing in tempo discreto, usando questo tipo di approccio, e dove é assunta una speci­ficazione Compound Autoregressive (CAR ovvero affine) per le variabili di stato [vedi Darolles, Gourieroux, Jasiak (2002)], é stata proposta da Gourier­oux e Monfort (2003) e Gourieroux, Monfort e Polimenis (2002, 2003); in questi articoli viene presentata la metodologia generale di pricing e vengono specificati modelli per la Struttura a Termine e per il Rischio di Credito. Il tempo discreto é un contesto naturale per sviluppare modelli di valoriz­zazione volti a future implementazioni econometriche; infatti, i dati storici sono campionati con frequenza discreta, le transazioni finanziarie sono tipi­camente registrate a intervalli temporali discreti, la stima di parametri e i test statistici implicano dati a tempo discreto e le previsione sono fatte a orizzonti discreti. Un secondo e importante vantaggio che si ha nel lavorare in tempo dis­creto emerge quando consideriamo la classe di processi affini per applicazioni finanziarie. La classe di processi affini in tempo discreto (processi CAR) [pro­posti, come indicato sopra, da Darolles, Gourieroux, Jasiak (2002)] é molto più ampia della classe equivalente in tempo continuo proposta da Duffie, Fil­ipovic and Schachermayer (2003) : tutti i processi affini in tempo continuo campionati a istanti temporali discreti sono CAR, mentre esiste un ampio numero di processi CAR senza un processo equivalente in tempo continuo. Questa é una conseguenza del problema di embedding che caratterizza la classe affine in tempo continuo : tali processi devono essere infinitamente decomponibili, mentre tale condizione non é necessaria in tempo discreto [vedi Darolles, Gourieroux and Jasiak (2002) and Gourieroux, Monfort and Polimenis (2002)]. Nella Tesi sfrutteremo il contesto a tempo discreto anche per introdurre processi Non-Gaussiani e Non-Markoviani come le Misture di Processi Con­dizionatamente Gaussiani. Per quanto riguarda l'utilizzo della trasformata di Laplace condizionale per descrivere la distribuzione storica e neutrale al rischio delle variabili di stato, si osservi come in molte applicazione economico-finanziarie siamo por­tati in modo naturale a dover calcolare la trasformata di Laplace di tali variabili di stato. Alcuni esempi possibili sono i seguenti : (a) optimal port­folio problems (CARA utility functions, Markowitz), (b) asset pricing by thè certainty equivalence principle (CARA utility functions), (c) discrete time derivative pricing and term strueture models with exponential-affine SDFs, (d) panel duration models, (e) extreme risk [see Darolles, Gourieroux and Jasiak (2002) for details]. Vedremo, inoltre, che la trasformata di Laplace é uno strumento molto utile per caratterizzare anche la distribuzione storica e neutrale al rischio di Misture di Processi Condizionatamente Gaussiani. Per finire, la necessità di prendere in considerazione le fonti di rischio ril­evanti nell'influenzare il titolo da valorizzare, porta a considerare lo Stochas­tic Discount Factor (SDF) come strumento per caratterizzare la procedura di pricing : lo SDF é una variabile casuale (chiamata anche Pricing Kernel o State Price Deflator) che sintetizza sia l'attualizzazione temporale che la correzione per il rischio, e che porta a specificare, conseguentemente, una procedura di valorizzazione che fornisce una modellizzazione completa degli aspetti storici e neutrali al rischio. Il tempo discreto implica in generale un contesto a mercato incompleto e una molteplicità di formule di pricing; il problema della molteplicità viene ridotto imponendo una forma particolare allo SDF; il Pricing Kernel viene specificato, infatti, secondo una forma esponenziale-affine che si é dimostrata utile in molte circostanze e che troviamo sovente in letteratura [vedi Lu­cas (1978), Gerber e Shiu (1994), Stutzer (1995, 1996), Buchen e Kelly (1996), Buhlmann et al. (1997, 1998), Polimenis (2001), Gourieroux e Mon­fort (2002)]. Inoltre, uno SDF con una forma esponenziale-affine presenta proprietà tecniche interessanti : tale approccio infatti, che é basato sulla trasformata di Esscher in un contesto dinamico a tempo discreto, perme­tte di selezionare una misura martingale (di pricing) equivalente che riflette, nella formula di pricing, le diverse fonti di rischio da valorizzare. Ora, il contesto a tempo discreto, assieme ai principi di modellizzazione dello SDF esponenziale-affine e della transformata di Laplace, costituiscono gli strumenti usati nei tre capitoli fondamentali della Tesi. La Tesi analizza il ruolo che l'introduzione di variabili latenti può avere, in questa classe di modelli di pricing a tempo discreto, nello specificare metodologie di valorizzazione complete e coerenti rispetto alle indicazioni empiriche. Nei Capitoli 2 e 3 l'obbiettivo, infatti, é quello di specificare metodologie per la valorizzazione di prodotti derivati in grado di prendere in considerazione i tipici fenomeni di skewness e excess kurtosis che osserviamo nella distribuzione dei rendimenti di titoli azionari, e di riuscire quindi a repli­care le volatilità implicite di Black e Scholes (BS) e superfici di volatilità im­plicita con forme di smile a volatility skew coerenti con l'evidenza empirica1. Qui, le variabili latenti introducono cambiamenti di regime nella dinamica del titolo sottostante (cambiamenti, per esempio, tra un mercato a regime di alta e bassa volatilità) ovvero, introducono nella distribuzione storica del rendimento rischioso fenomeni come medie e varianze stocastiche. Nel Capi­tolo 4, vengono proposti modelli affini bifattoriali per la struttura a termine dei tassi di interesse (in tempo discreto) con variabili latenti; l'obbiettivo é quello di ottenere famiglie di possibili strutture a termine con forme più prossime (rispetto ai modelli unifattoriali in tempo discreto e continuo) a quelle osservate. In questo caso, le variabili latenti introducono parametri stocastici (continui e discreti) nella dinamica del fattore (tasso di interesse a breve scadenza) responsabile della forma della struttura a termine nei modelli unifattoriale. In altre parole, si vogliono definire procedure di pricing capaci di pren­dere in considerazione, in modo coerente e utile, le fonti di rischio descritte dai cambiamenti di regime e dai parametri stocastici; vogliamo specificare metodologie di valorizzazione non basate su ipotesi arbitrarie (spesso us­ate in letterature) come, per esempio, la neutralità al rischio degli investi­tori o la natura idiosincratica del rischio, e vogliamo derivare formule di pricing che hanno una forma analitica o che sono facili da implementare. L'organizzazione della Tesi é indicata nel prossimo paragrafo. 1 Questi due capitoli corrispondono a due articoli scritti con Henri Bertholon e Alain Monfort. Sintesi dei capitoli Nel CAPITOLO 1 viene inizialmente presentato il principio di modelliz­zazione dello SDF, e come é legato alla Law of One Price e al principio di Absence of Arbitrage Opportunity; successivamente, vengono descritti gli strumenti base che caratterizzano i modelli di pricing a tempo discreto sviluppati nella tesi : lo SDF esponenziale-affine, e la rappresentazione della distribuzione condizionale delle variabili di stato tramite la trasformata di Laplace considerando come esempio i processi CAR. Nel CAPITOLO 2 proponiamo una nuova procedura di valorizzazione di opzioni Europee che porta ad una generalizzazione della formula di Black e Scholes [utile, quindi, dal punto di vista delle istituzioni finanziarie]; in particolare, ci focalizziamo sulle due fonti fondamentali di cattiva specifi­cazione dell'approccio BS, ovvero l'assenza di Gaussianità e la dinamica. Gli strumenti utilizzati sono le misture in tempo discreto di processi condizion­atamente gaussiani, cioè processi {yt} tali che yt+1 é gaussiano condizion­atamente ai propri valori passati e al valore presente zt+ì di un white noise non osservabile a valori discreti. Forniamo (in un semplice caso statico) le simulazioni di volatilità implicita di BS e di superfici di volatilità implicita, e osserviamo l'abilità delle procedure di pricing che proponiamo nel repli­care smiles e volatility skews coerenti con l'evidenza empirica. Per quanto riguarda le superfici di volatilità implicita, il modello statico mostra qualche limite che é superato, con una dinamica di tipo Regime-Switching attribuita a zt+i, nel Capitolo 3. Il CAPITOLO 3 presenta una naturale evoluzione del precedente capitolo; infatti, prende in considerazione il caso in cui la variabile latente zt+\ non sia più un white noise ma, tipicamente, una Catena di Markov. Più precisa­mente, presentiamo il modello General Switching Regime per il pricing di derivati, applicato ai casi di opzioni Europee e path dependent. Studiamo inoltre le condizioni sotto le quali c'è una trasmissione di causalità (assenza di causalità istantanea, assenza di causalità, indipendenza), esistente tra la madia e la varianza stocastica, dal mondo storico al mondo neutrale al ris­chio. A questo scopo separiamo la dinamica della media e della varianza (in un caso di Hidden Markov Chain) usando due distinte variabili latenti (zit+i , Z2t+i), dove sia zu+i che Zit+\ possono prendere J possibili valori, e dove la prima variabile latente descrive la dinamica della media mentre la seconda quella della varianza. Lo scopo del CAPITOLO 4 é di introdurre parametri stocastici e cambi­amenti di regime nei modelli affini unifattoriali per la struttura a termine presentati da Gourieroux, Monfort and Polimenis (2002) [GMP (2002)], al fine di estendere la dinamica del tasso a breve termine e di ampliare, con­seguentemente, la ricchezza di curve della struttura a termine che tali modelli sono in grado di riprodurre. Vengono studiati diversi modelli alternativi e vengono presentate le simulazioni sulle possibili struttura a termine che essi sono in grado di replicare; in particolare, le strutture a termine ottenute mostrano forme con gobbe verso l'alto e verso il basso, forme con diversi gradi curvatura e con due mode. Per finire, presentiamo in problema dell' in­dividuazione di mimicking factors [un vettore Rt = (rf;i+2,..., rt,t+n) di tassi di interesse con differenti maturity] per i parametri stocastici e i cambiamenti di regime : questo é un problema interessante, dal punto di vista statistico, data l'osservabilità dei tassi di interesse.

The aim of the thesis is to consider, as a new research direction, the specification of discrete time pricing models (in general incomplete) with latent variables, in order to exploit the advantages coming from the discrete time framework and in order to give a complete description of historical and risk-neutral aspects of asset prices. In the last years, we observe an important development of asset pric­ing models in discrete time, where the use of the Stochastic Discount Factor (SDF) modeling principle and the characterization of the state variables con­ditional distributions by means of the Laplace transform seem promising. More precisely, the general discrete time characterization of asset pricing models, using this kind of approach, and where a compound autoregressive (affine or CAR) specification for the state variables is assumed [see Darolles, Gourieroux, Jasiak (2002)], has been proposed by Gourieroux and Monfort (2003) and Gourieroux, Monfort and Polimenis (2002, 2003); in these pa­pers the general pricing methodology and the specifications of Affine Term Structure models, along with the Credit Risk Analysis, are presented. The discrete time is a natural framework to develop pricing models for fu­ture econometric implementations, given that all historical data are sampled discretely, financial transactions are typically recorded at discrete intervals, parameter estimation and hypothesis testing involve discrete data records, and forecasts are produced at discrete horizons. A second important advantage to work in discrete time emerges when we consider the class of affine processes for financial applications. The class of discrete time affine (CAR) processes [proposed, as indicated above, by Darolles, Gourieroux and Jasiak (2002)] is much larger than the equivalent continuous time class proposed by Duffie, Filipovic and Schachermayer (2003) : all continuous time affine processes sampled at discrete points are CAR, while there exists a large number of CAR processes without a continuous time counterpart. This is a consequence of the embedding problem that characterizes the continuous time class : these processes have to be infinitely decomposable, and this decomposition condition is not necessary in discrete time [see Darolles, Gourieroux and Jasiak (2002) and Gourieroux, Monfort and Polimenis (2002) for details]. In this Thesis, we will also exploit the discrete time framework in order to introduce non-Gaussian and non-Markovian processes like, for instance, the Mixtures of Conditionally Normal Processes. With regard to the use of the conditional Laplace transform to describe the historical and risk-neutral (pricing) distribution of the state variables, we observe that in many financial and economic applications we are naturally lead to determine the Laplace transform of the processes of interest; possible examples are the followings : (a) optimal portfolio problems (CARA utility functions, Markowitz), (b) asset pricing by the certainty equivalence princi­ple (CARA utility functions), (c) discrete time derivative pricing and term structure models with exponential-affine SDFs, (d) panel duration models, (e) extreme risk [see Darolles, Gourieroux and Jasiak (2002) for details]. In this Thesis we will see that the Laplace transform is also very convenient for the class of Mixtures of Conditionally Normal Processes. Finally, the need to take into account the relevant sources of risk that influence the asset one wants to price, lead to consider a Stochastic Discount Factor (SDF) approach to characterize the pricing procedure : the SDF is a random variable (called also Pricing Kernel or State Price Deflator) which summarizes both the time discounting and the risk correction, and which specifies, consequently, a pricing procedure that gives a complete modelisa­tion of the historical and risk-neutral (pricing) aspects. Given that discrete time implies in general an incomplete market frame­work and a multiplicity of asset pricing formulas, the multiplicity problem is reduced by imposing a special structure on the SDF; in particular, it is pos­sible to consider for the pricing kernel an exponential-affine function of the state variables which has proved useful in many circumstances and that we find frequently in the literature [see Lucas (1978), Gerber and Shiu (1994), Stutzer (1995, 1996), Buchen and Kelly (1996), Buhlmann et al. (1997, 1998), Polimenis (2001), Gourieroux and Monfort (2002)]. Moreover, a SDF with an exponential-affine form presents interesting technical properties : it is the Esscher transform approach, in a dynamic discrete time framework, which gives the possibility to select an equivalent martingale (pricing) mea­sure that reflects, in the pricing formula, the different sources of risks to be priced. Now, the discrete time framework, along with the exponential-affine SDF modeling principle and the Laplace transform approach, constitute the in­struments used in the three core chapters of the Thesis. The Thesis analyzes the role that the introduction of latent variables could play, in this class of discrete time pricing models, for the specification of com­plete and coherent, with respect to the empirical evidence, pricing methodolo­gies. In Chapters 2 and 3 the purpose is, indeed, to specify derivative pricing methodologies able to take into account time-varying stock returns skewness and excess kurtosis, that is, pricing procedure able to replicate phenomena like implied Black and Scholes volatilities and implied volatility surfaces with smile and volatility skew shapes coherent with empirical studies2. Here, the latent variables are regimes of the underlying risky asset (switches, for in­stance, between a low volatility and a high volatility regime of the market), that is, they introduce phenomena like stochastic means and variances in the historical dynamics of the stock return underlying the derivative product. In Chapter 4, the Thesis proposes discrete time two-factor affine term structure models with latent variables, able to obtain families of possible term struc­tures with shapes closer (with respect to one-factor continuous and discrete time models) to the observed ones. In this case the latent variables intro­duce discrete and continuous stochastic parameters in the dynamics of the factor (the short term interest rate) that explains the term structure of the univariate models. In other words, we want to define pricing procedure able to take into account in a coherent and useful way the sources of risk described by the switching of regimes and by the stochastic parameters; we want to spec­ify pricing procedure not characterized by arbitrary assumptions, frequently used in the literature, like, for instance, the risk-neutrality of the investors or the idiosyncratic nature of the risk. In addition, we want to provide pricing formulas which have an analytical form or which are simple to implement. The organization of the Thesis is detailed below. 2They correspond to two papers written with Henri Bertholon and Alain Monfort. Outline of the chapters In CHAPTER 1 first we present the SDF modeling principle, and its rela­tions with the Law of One Price and the Absence of Arbitrage Opportunity principle, then we consider the basic tools characterizing the discrete time pricing models developed in this Thesis : the exponential-affine SDF, the conditional Laplace transform description of the future uncertainty and the CAR processes. In CHAPTER 2 we propose a new European option pricing procedure which lead to a generalization of the Black and Scholes pricing formula [and, therefore, useful for financial institutions]. We focus on two impor­tant sources of misspecification for the Black-Scholes approach, namely the lack of normality and the dynamics. The basic tools are the mixtures of discrete time conditionally normal processes, that is to say processes {yt} such that yt+i is gaussian conditionally to its past values and the present value zt+i of a discrete value unobservable white noise process. We provide (in a static framework) simulations of implied Black-Scholes volatilities and implied volatilities surfaces, and we observe the ability of the proposed as­set pricing methodology to replicate smiles and volatility skews coherent with empirical results. With regard to implied volatility surfaces, the static model shows some limit which is overcome, with a Regime-Switching dynamics for Zt+i, in Chapter 3. CHAPTER 3 presents a natural evolution of the previous chapter, that is, it considers the case where the latent variable zt+1 is no more a white noise but, typically a Markov chain. More precisely, we present the derivative pricing General Switching Regime model applied to the cases of European and path dependent options. We also study the conditions under which there is a transmission of causality relations (absence of instantaneous casuality, absence of causality, independence), existing between the stochastic mean and variance, from the historical to the risk-neutral world. For this purpose we separate the dynamics of these two moments (in the case of a Hidden Markov Chain) using two distinct latent variables (zit+i , 22t+i)> where both Z\t+\ and Z2t+\ can take J values and where the first latent variable describe the dynamics of the mean while the second one describe the dynamics of the variance. The aim of CHAPTER 4 is to introduce stochastic parameters and switch­ing regimes in the one-factor Affine Term Structure Models proposed by Gourieroux, Monfort and Polimenis (2002) [GMP (2002) hereafter], in order to extend the dynamics of the short rate and to improve, consequently, the richness of shapes of the term structure they are able to replicate. Different models are studied and simulations of the possible term structures we are able to replicate are presented; in particular, the provided term structures show shapes with bumps both upwards and downwards, shapes with different degrees of curvature and with two modes. Finally, we present the problem to find mimicking factors [a vector Rt (rt)t+2,..., ru+n) of interest rates at different maturities] for stochastic parameters and switching regimes : this is an interesting problem, from a statistical point of view, because of the observability of the interest rates.