Models and theories of pure and resource lambda calculi

Abstract

Parte I: Un problema aperto da lungo tempo è se esiste un modello del lambda calcolo non tipato nella categoria CPO degli ordinamenti parziali completi e funzioni Scott-continue, la cui teoria equazionale è esattamente la minima lambda-teoria λβ o la minima lambda-teoria estensionale λβη: è il Problema 22 nella lista dei problemi aperti TLCA (http://tlca.di.unito.it/opltlca/problem22.pdf). In questa tesi si analizza la classe dei dominii di Scott riflessivi, i modelli del lambda calcolo che vivono nella categoria dei dominii di Scott (una sottocategoria piena di CPO). Noi isoliamo, tra i domini riflessivi di Scott, una classe di modelli a trama derivanti dai sistemi informativi di Scott, che noi chiamiamo i-modelli. La classe degli i-modelli comprende, ad esempio, tutti i modelli preordinati coerenti, tutti i modelli a filtro che vivono in CPO e tutti i dominii di Scott estensionali riflessivi. Effettuando uno studio a dettagliato, di una versione "effettiva" dei sistemi informativi di Scott degli i-modelli si ottengono i seguenti risultati principali: c'è un'importante classe di i-modelli che non è completa per il lambda calcolo estensionale e tale nessun suo membro ha una teoria dell'ordine ricorsivamente enumerabile. Un lambda-termine chiuso M è facile se, per qualsiasi altro termine chiuso N, la lambda-teoria generata dall'equazione M=N è consistente, mentre è facile semplice se, dato un tipo intersezione τ arbitrario, si può trovare un pre-ordine adeguato sui tipi che permette di derivare τ per M. La facilità semplice implica la facilità. La questione se la facilità implichi o meno la facilità semplice costituisce il Problema 19 nella lista dei problemi aperti TLCA (http://tlca.di.unito.it/opltlca/problem19.pdf). Come sottoprodotto del nostro lavoro sugli i-modelli, siamo in grado di risolvere questo problema: diamo una risposta negativa, fornendo un insieme non vuoto di lambda-termini facili ma non facili semplici.

Parte II: Dato un semi-anello con unità che soddisfi alcune condizioni, si definisce un funtore esponenziale della categoria degli insiemi e relazioni che consente di definire un modello denotazionale della Logica Lineare Differenziale e del lambda calcolo con risorse . Si dimostra che, quando il semi-anello è un elemento che è "infinitario", questo modello non convalida la formula di Taylor e che è possibile costruire, nella categoria Cartesiana chiusa di Kleisli associata, un modello del lambda calcolo puro che non è sensibile. Questo è un analogo quantitativo della costruzione del grafo modello di Park nella categoria dei dominii di Scott. Abbiamo avviato uno studio puramente algebrico del lambda calcolo con risorse di Ehrhard e Regnier, introducendo tre varietà algebriche: algebre combinatorie con risorse, lambda-algebre con risorse e algebre di lambda-astrazione con risorse. Stabiliamo le relazioni tra di esse, e gettiamo le basi per una teoria dei modelli del lambda calcolo con risorse. Mostriamo anche che il completamento ideale di un'algebra combinatoria (resp. lambda-algebra, algebra di lambda-astrazione) con risorse induce un'algebra combinatoria (resp. lambda-algebra, algebra di lambda-astrazione) "classica'', e che qualsiasi modello del lambda calcolo classico proveniente da una lambda-algebra con risorse determina una lambda-teoria che identifica tutti i termini che hanno lo stesso albero di Bohm.

Part I: A longstanding open problem is whether there exists a model of the untyped lambda calculus in the category CPO of complete partial orderings and Scott continuous functions, whose theory is exactly the least lambda-theory λβ or the least extensional lambda-theory λβη: it is Problem 22 in the TLCA list of open problems (http://tlca.di.unito.it/opltlca/problem22.pdf). In this thesis we analyze the class of reflexive Scott domains, the models of lambda calculus living in the category of Scott domains (a full subcategory of CPO). We isolate, among the reflexive Scott domains, a class of webbed models arising from Scott's information systems, that we call i-models. The class of i-models includes, for example, all preordered coherent models, all filter models living in CPO and all extensional reflexive Scott domains. By performing a fine-grained study of an ''effective'' version of Scott's information systems and i-models we obtain the following main results: there is an important class of i-models which is not complete for the extensional calculus and whose members never have a recursively enumerable order theory.

A closed lambda-term M is easy if, for any other closed term N, the lambda-theory generated by the equation M = N is consistent, while it is simple easy if, given an arbitrary intersection type τ, one can find a suitable pre-order on types which allows to derive τ for M. Simple easiness implies easiness. The question whether easiness implies simple easiness constitutes Problem 19 in the TLCA list of open problems (http://tlca.di.unito.it/opltlca/problem19.pdf). As a byproduct of our work on i-models, we are in the position of solving this problem: we answer negatively, providing a nonempty set of easy, but non simple easy, lambda-terms.

Part II: Given a semi-ring with unit which satisfies some conditions, we define an exponential functor on the category of sets and relations which allows to define a denotational model of Differential Linear Logic and of the lambda-calculus with resources. We show that, when the semi-ring has an element which is ''infinitary", this model does not validate the Taylor formula and that it is possible to build, in the associated Kleisli cartesian closed category, a model of the pure lambda-calculus which is not sensible. This is a quantitative analogue of the Park's graph model construction in the category of Scott domains.

We initiate a purely algebraic study of Ehrhard and Regnier's resource lambda-calculus, by introducing three algebraic varieties: resource combinatory algebras, resource lambda-algebras and resource lambda-abstraction algebras. We establish the relations between them, laying down foundations for a model theory of resource lambda calculus. We also show that the ideal completion of a resource combinatory algebra (resp. lambda-algebra, lambda-abstraction algebra) induces a ''classical'' combinatory algebra (resp. lambda-algebra, lambda-abstraction algebra), and that any model of the pure lambda calculus raising from a resource lambda-algebra determines a lambda-theory which equates all terms having the same Bohm tree.